如何让学生认识到微积分的重要性①(3)

[17]陈红燕，邓臻.微积分在概率论中的应用[J].科技资讯，2013（7）.

[18]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7 版.北京：高等教育出版社，2014.

[19]贤锋.浅析微积分理论在中学数学中的简单应用[J].引进与咨询，2000（1）.

一、背景微积分学，或者数学分析[1，2]，是人类思维的伟大成果之一。它不仅是高等院校数学学院的一门重要基础课，是学习高等代数、微分方程、复变函数、实变函数以及概率论等课程的基础，也是理科专业的一门重要的公共数学课，是学习线性代数、概率论和数理统计的基础，被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”。[3，4]它引入了若干极其成功的，对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。[5]微积分的产生革新了数学的概念、思想和方法，它的创立是教学发展的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。此外，微积分不仅在天文、力学、物理、化学、生物、经济学、工程学等自然科学方面有广泛应用，在社会科学中也有广泛应用。可以说，微积分是这些学科的基础，同时这些学科的发展也促进了微积分的广泛应用和发展。微积分是高等院校理科专业学生大一的基础课程，为后续课程的学习提供工具。微积分学习的好坏将直接影响其他课程的学习。微积分是重要的，这是毋庸置疑的。遗憾的是，微积分的方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的结晶。大部分学生只知道它是重要的，并没有深刻地理解其重要性，甚至有的学生在谈到微积分时紧皱眉头，对其产生抵触情绪，缺乏学习微积分的热情。在我看来，这是因为学生对微积分应用的理解还只停留在现学知识上或者理论上，并没有深刻理解微积分的思想，也没有看到微积分在交叉学科和实际中的应用。我们不仅要学习微积分课本上表面的知识，更要掌握它所体现的思想，例如，极限的思想、函数构造的思想、积分的思想等。这些思想隐含在课本中的定义、定理、命题及解题过程中。这就要求在学习微积分时要透过现象看本质，这样才能深刻理解其中的奥妙。本文将以具体的例子说明微积分在中学数学、高等院校本科数学和公共数学方面的应用，使学生产生学习微积分的动力，并形成将其学好的信心。二、微积分在数学本专业课程中的应用大部分高等院校数学专业学生的基础课程有高等代数[6]、常微分方程[7]、概率论与数理统计[8]等。微分方程是一种联系着自变量、未知函数及它的导数（或微分）的关系式，且其中未知函数的导数和微分是不可缺少的。可见，微分方程是微积分的应用和拓展。因此，本文不再举例说明微积分在常微分方程方面的应用。选修课有实变函数[9]、复变函数[10]、数值分析[11]、近世代数[12]，而非数学专业学生要学的数学课程有经济数学[13]、概率论与数理统计[14]、线性代数[15]。这些课程的基础都是微积分。接下来，我们将从几个方面着手研究微积分在这些课程中的应用。为了加深学生的理解，接下来以几个例子加以说明。（一）微积分在高等代数中的应用高等代数是高等院校数学专业学生除数学分析外的另一门重要的基础课，也是学生今后工作和研究必须掌握的内容。它和数学分析作为两门重要的课程，相互渗透，相辅相成，缺一不可。其中一门课的发展必将带动另一门课的研究热潮。接下来，我们将给出实例说明微积分在高等代数中的应用。例1[16].设二次型f（X）＝X＇AX，其中A＝（aij）n×n为实对称矩阵，X=（x1，…，xn）'.证明：（1）若则（2）若A 为正定矩阵，则则也是正定矩阵。（1）证明：已知则由此知，对于一切X≠0，被积函数都大于0，所以积分值大于0，即对于任何X≠0，都有二次型f（X）=X＇AX＞0，则f（X）为正定二次型，于是A 为正定矩阵，所以（2）设令Y=（x1e-t，x2e-2t，…，xne-nt），则对任意X≠0，有Y≠0，而A 为正定矩阵，故二次型正定，即对于任意Y≠0，总有Y＇AY＞0。因此对任X≠0，上式的被积函数总大于0，其积分值大于0，所以g（X）=X＇BX 为正定二次型，因此B 为正定矩阵。在上述命题中，巧妙地利用微积分中的幂级数和反常积分，大大减轻了计算量，也便于学生理解，更可以让学生认识到微积分的强大。（二）微积分在概率论与数理统计中的应用微积分和概率论是高等院校数学专业的两门基础课，前者在后者的学习中有着不可或缺的作用。概率论中的许多问题都可转化为微积分问题。微积分中的集合、函数及微积分思想及计算方法在概率论中都有重要应用，我们以微积分应用为例说明。例2[17].设X 服从参数为λ 的Possion 分布，求其数学期望E（X）及数学方差D（X）。解：利用离散型随机变量分布的性质即两边同时乘eλ得两边对λ求导，并由此幂级数的可交换性得上式两边再同时乘λ 得则即E（X）=λ.（1）式两边对λ 求导得所以，即E（X2）=λ+λ2.所以D（X）=λ。上述例题中，利用了微积分的幂级数和求导，虽然不难，但技巧性很强。例3.设随机变量X 与Y 相互独立，概率密度分别是求随机变量函数Z=X+Y 的期望。证明：因为随机变量X 与Y 是相互独立的，所以二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为在上题中，我们利用了微积分中的反常积分和反常二重积分计算随机变量函数的期望。显然，积分掌握得不牢固的话，解答上题是有难度的。微积分中的积分在概率论与数理统计中有很多应用，在此就不一一列举了。三、微积分在公共数学中的应用高等院校的很多专业开设了公共数学，以华侨大学为例，工学院开设了高等数学[18]、经济数学-微积分[13]、经济数学-概率论与数理统计[14]、经济数学-线性代数[15]等。前两门课删减了数学分析[1、2]中的一些内容，提炼出应用性较强的内容，并对其做简要概述，供非数学专业学生学习；后一门课中的主要内容则需要学生掌握微积分，尤其是定积分和多重积分的计算；线性代数则抽取了高等代数中的主要内容。高等代数和微积分之间的关系在上面已经提过，因此线性代数与微积分的关系就不言而喻了。四、微积分在中学数学中的应用如今，越来越多的微积分理论在中学数学中应用，这不仅扩展了中学生的思维，也让他们提前感受到微积分的内容和重要性，为他们以后学习微积分打下了基础。下面将用微积分解决中学数学中重要的习题。例4[19].如果a，b，c 都是正数，那么a3+b3+c3≥3abc。证明：令f（x）=x3-3abx+a3+b3，则f＇（x）=3x2-3ab=0，可得零点显然，当时，f＇（x）＜0，f（x）在该区间单调递减；当时，f＇（x）＞0，f（x）在该区间单调递增。因此，f（x）在取得极小值。又因为连续函数f（x）在区间（0，+∞）有且只有一个极小值点，则该极小值即为在该区间的最小值。所以?x＞0，f（x）取x=c，则有a3+b3+c3≥3abc。即为所证。该例题通过构造函数巧妙地利用连续函数的特点使得证明简洁易懂。例5[19].如果a0，a1，…，an为满足=0 的实数，证明方程a0+a1x+…+anxn=0 在（0，1）内至少有一个实根。证明：令a0+a1x+a2x2+…+anxn，又因为f（0）=0，f（1）即f（0）=f（1）。显然，f（x）在闭区间[0，1]连续，在开区间（0，1）可导，由罗尔定理知，在（0，1）内至少有一点ξ 使f＇（ξ）=0，证毕。该题把待证明的方程看成某个函数的导数，再利用罗尔定理证明，既巧妙又简洁。综上所述，我们可以看到微积分在本科教学和中学教学中的应用，有了这些实例，相信学生能够更加深刻地认识到它的重要性，从而更好地学习微积分。参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.[3]邱森.微积分探究性课题精编[M].武汉：武汉大学出版社，2016.[4]徐永琳，田巧玉，文艳艳.微积分探究性学习的理论与实践研究[M].北京：中国水利水电出版社，2016.[5]勒玉乐.探究教学论[M].重庆：西南师范大学出版社，2001.[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].4 版.北京：高等教育出版社，2013.[7]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.[8]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.[9]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2016.[10]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.[11]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008.[12]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2011.[13]吴传生.经济数学-微积分[M].3 版.北京：高等教育出版社，2015.[14]吴传生.经济数学-概率论与数理统计[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.[15]吴传生.经济数学-线性代数[M].3 版.北京：高等教育出版社，2015.[16]王莲花，鞠红梅，李战国.数学分析在高等代数中的某些应用[J].河南教育学院学报（自然科学版）.2008（3）.[17]陈红燕，邓臻.微积分在概率论中的应用[J].科技资讯，2013（7）.[18]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7 版.北京：高等教育出版社，2014.[19]贤锋.浅析微积分理论在中学数学中的简单应用[J].引进与咨询，2000（1）.

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